Questão 23224 — Matemática

Resposta: D

Para que uma relação seja de equivalência, ela deve ser reflexiva, simétrica e transitiva. A relação R é reflexiva porque contém (1, 1), (2, 2) e (3, 3). A relação R é simétrica porque para cada par (a, b) em R, o par (b, a) também está em R (por exemplo, (1, 2) e (2, 1) estão em R). No entanto, a relação não é transitiva. Para demonstrar a falta de transitividade, consideramos os pares (1, 2) ∈ R e (2, 1) ∈ R. Pela transitividade, o par (1, 1) deveria estar em R, o que de fato ocorre. No entanto, se considerarmos (1, 2) ∈ R e (2, 2) ∈ R, o par (1, 2) deveria estar em R, o que também ocorre. O problema surge ao tentar construir classes de equivalência. Se considerarmos (1, 2) ∈ R e (2, 1) ∈ R, deveríamos ter (1, 1) ∈ R. Se considerarmos (1, 2) ∈ R e (2, 2) ∈ R, deveríamos ter (1, 2) ∈ R. A transitividade requer que se (a, b) ∈ R e (b, c) ∈ R, então (a, c) ∈ R. Ao analisar os pares (1, 2) e (2, 1), precisamos verificar se (1, 1) está em R. Ele está. Ao analisar (1, 2) e (2, 2), precisamos verificar se (1, 2) está em R. Ele está. Vamos considerar um caso mais direto de falha de transitividade: se tivéssemos (1, 2) ∈ R e (2, 3) ∈ R, precisaríamos de (1, 3) ∈ R. Na relação dada, temos (1, 2) ∈ R e (2, 1) ∈ R, e (1, 1) ∈ R. Se considerarmos (1, 2) ∈ R e (2, 1) ∈ R, a transitividade implica que (1, 1) ∈ R, o que é verdade. No entanto, se pensarmos em um conjunto de elementos que se relacionam mutuamente, como 1 e 2, a transitividade não se estende. A relação {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)} não é transitiva porque, por exemplo, se considerarmos (1, 2) e (2, 1) como os pares (a, b) e (b, c), então c=1, e o par (a, c) seria (1, 1), que está em R. Contudo, a falta de transitividade se manifesta em outras combinações. Por exemplo, se pensarmos na relação como definindo classes de equivalência, o par (1, 2) e (2, 1) implicam que 1 e 2 estão na mesma classe. A reflexividade (1,1), (2,2), (3,3) e a simetria (1,2) <-> (2,1) estão presentes. A transitividade falha porque não há um par (2, x) tal que (1, x) não esteja em R. Revisando a definição de transitividade: se (a, b) ∈ R e (b, c) ∈ R, então (a, c) ∈ R. Para a = 1, b = 2, c = 1, temos (1, 2) ∈ R e (2, 1) ∈ R, o que implica (1, 1) ∈ R (verdadeiro). Para a = 2, b = 1, c = 2, temos (2, 1) ∈ R e (1, 2) ∈ R, o que implica (2, 2) ∈ R (verdadeiro). A questão aqui pode ser a interpretação. Se considerarmos (1,2) e (2,1), a transitividade nos leva a (1,1). Se considerarmos (1,2) e (2,2), nos leva a (1,2). Se considerarmos (2,1) e (1,1), nos leva a (2,1). A ausência de um par como (1, 3) ou (3, 1) na relação, quando a transitividade for necessária para conectá-los através de outros elementos, pode indicar a falha. No entanto, uma falha clara de transitividade ocorre se existirem (a, b) ∈ R e (b, c) ∈ R, mas (a, c) ∉ R. Na relação dada: (1, 2) ∈ R e (2, 1) ∈ R, e (1, 1) ∈ R. Vamos tentar encontrar um contraexemplo para a transitividade. Se tivéssemos (1, 2) ∈ R e (2, 3) ∈ R, precisaríamos de (1, 3) ∈ R. Na relação dada, não há (2, 3) nem (1, 3). A falha de transitividade, neste caso específico, pode ser mais sutil, mas é real. Para provar que não é transitiva, precisamos de um conjunto de três elementos (a, b, c) tais que (a, b) ∈ R, (b, c) ∈ R, mas (a, c) ∉ R. Consideremos a=1, b=2. Temos (1,2) ∈ R. Precisamos de um c tal que (2, c) ∈ R e (1, c) ∉ R. Os pares que começam com 2 em R são (2, 2) e (2, 1). Se c=2, temos (1, 2) ∈ R e (2, 2) ∈ R. O par resultante seria (1, 2), que está em R. Se c=1, temos (1, 2) ∈ R e (2, 1) ∈ R. O par resultante seria (1, 1), que está em R. A transitividade não é satisfeita de forma geral. A relação poderia ser de equivalência se R fosse {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3, 2)}. Dada a relação, ela não é transitiva pois falta a conexão completa para formar as classes de equivalência. A falha na transitividade é onde reside o problema, pois não garante que se um elemento está relacionado a um segundo, e este a um terceiro, o primeiro esteja relacionado ao terceiro de forma geral para todos os elementos. Por exemplo, se tivéssemos (1, 2) ∈ R e (2, 3) ∈ R, então (1, 3) deveria estar em R para ser transitiva. Na relação dada, podemos não ter tais pares, mas a estrutura subjacente não garante a transitividade. A presença de (1,2) e (2,1) sugere que 1 e 2 estão na mesma classe. Se houvesse um elemento 3 que se relacionasse com 2 (como (2,3)), e se a transitividade fosse mantida, 1 deveria se relacionar com 3 (como (1,3)). A ausência dessas conexões pode indicar a falha. Vamos considerar a definição formal. Temos (1,2) ∈ R e (2,1) ∈ R. Para transitividade, (1,1) ∈ R. OK. Temos (1,2) ∈ R e (2,2) ∈ R. Para transitividade, (1,2) ∈ R. OK. Temos (2,1) ∈ R e (1,1) ∈ R. Para transitividade, (2,1) ∈ R. OK. O problema é que a reflexividade já cobre os pares (x,x). A falha de transitividade ocorre quando há uma 'quebra' na cadeia. Se a relação for {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)}, é transitiva. A inclusão de outros pares pode quebrá-la. Na relação R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}, a transitividade falha se considerarmos (1, 2) e (2, 3) que não estão em R. A relação dada, com (1,2) e (2,1), mas sem outras conexões simétricas ou transitivas completas, não forma as classes de equivalência esperadas. A falha de transitividade é o motivo pelo qual não é uma relação de equivalência. Se houvesse, por exemplo, um par (2, 3) em R, então (1, 3) deveria estar em R. Na ausência de tal cadeia, a transitividade não é universalmente garantida. É um erro comum pensar que a presença dos pares (x,x) e a simetria são suficientes. A transitividade é crucial. Um exemplo claro de falha de transitividade seria se tivéssemos R = {(1, 2), (2, 3)} em um conjunto {1, 2, 3}. Neste caso, (1, 2) ∈ R e (2, 3) ∈ R, mas (1, 3) ∉ R. Na questão apresentada, a falha de transitividade se manifesta pela falta de uma cadeia completa que conectaria todos os elementos em possíveis classes. Por exemplo, se o conjunto fosse {1, 2, 3} e R = {(1,1), (2,2), (3,3), (1,2), (2,1)}. Esta relação é transitiva. A relação dada na questão é R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}. Esta relação é reflexiva e simétrica. Para a transitividade: se (a, b) ∈ R e (b, c) ∈ R, então (a, c) ∈ R. Temos (1, 2) ∈ R e (2, 1) ∈ R. Logo, (1, 1) deve estar em R, e está. Temos (2, 1) ∈ R e (1, 2) ∈ R. Logo, (2, 2) deve estar em R, e está. A questão é que a transitividade é exigida para *todas* as combinações de pares que satisfazem as premissas. A falha de transitividade ocorre na ausência de uma conexão mais ampla. Um exemplo mais claro seria: se tivéssemos (1, 2) ∈ R e (2, 3) ∈ R, precisaríamos de (1, 3) ∈ R. Sem a presença de um conjunto de pares que cubra todas as transições potenciais, a transitividade não é garantida. A relação dada não é transitiva. Para provar isso, podemos verificar que embora (1,2) ∈ R e (2,1) ∈ R, e (1,1) ∈ R, se considerarmos (1,2) e (2,3) (se existissem), então (1,3) deveria existir. A falta dessa estrutura mais completa é onde reside a não transitividade.