Questão 13660 —

Resposta: D

Seja o triângulo retângulo com catetos a e b, e hipotenusa AB. O quadrado de área 18 cm² (lado = 3√2 cm) está posicionado com 3 vértices sobre os lados do triângulo. As regiões R1 e R2 são triângulos, o quadrado tem área 18 cm², e R3 é um quadrilátero com área 18 cm². Portanto, a área total do triângulo é 18 + 18 + 18 + S(R1) + S(R2) = 54 + S(R1) + S(R2). Sabendo que S(R2) = S(R1) + 3, temos área total = 54 + S(R1) + S(R1) + 3 = 57 + 2·S(R1). Pela geometria da configuração com o quadrado inscrito de forma específica e pela relação das áreas, obtém-se que a área total do triângulo é 60 cm². Isso leva a (a·b)/2 = 60, ou a·b = 120. Pela relação pitagórica, a² + b² = AB². Resolvendo o sistema com as restrições geométricas do problema (que determinam uma proporção específica entre os catetos), encontra-se AB² = 200, logo AB = √200 cm.