Resposta: B
Seja o quadrado original com vértices nas coordenadas (0,0), (L,0), (L,L) e (0,L), onde L é o lado do quadrado. As linhas retas que o dividem cruzam em um ponto (x,y) dentro do quadrado, com 0 < x < L e 0 < y < L.
Essas linhas dividem o quadrado em quatro retângulos com as seguintes dimensões e áreas:
1. Retângulo inferior esquerdo: dimensões x por y. Área A1 = x * y.
2. Retângulo inferior direito: dimensões (L-x) por y. Área A2 = (L-x) * y.
3. Retângulo superior esquerdo: dimensões x por (L-y). Área A3 = x * (L-y).
4. Retângulo superior direito: dimensões (L-x) por (L-y). Área A4 = (L-x) * (L-y).
Sabemos que as áreas de três dos retângulos são 60 cm², 90 cm² e 120 cm². Precisamos descobrir qual área corresponde a qual retângulo. Vamos testar as combinações:
Podemos estabelecer uma relação fundamental entre as áreas. Note que:
A1 * A4 = (x * y) * ((L-x) * (L-y)) = x * y * (L-x) * (L-y)
A2 * A3 = ((L-x) * y) * (x * (L-y)) = (L-x) * y * x * (L-y) = x * y * (L-x) * (L-y)
Portanto, A1 * A4 = A2 * A3. O produto das áreas dos retângulos opostos (na diagonal) é igual.
Vamos atribuir os valores conhecidos às áreas e encontrar o quarto valor. Existem três casos possíveis para a disposição das áreas 60, 90 e 120 cm²:
Caso 1: As áreas 60 e 90 cm² são adjacentes, e 120 cm² é o oposto de uma delas.
Subcaso 1.1: A1 = 60, A2 = 90, A3 = 120. Então A1 * A4 = A2 * A3 => 60 * A4 = 90 * 120 => A4 = (90 * 120) / 60 = 90 * 2 = 180 cm².
Subcaso 1.2: A1 = 60, A2 = 120, A3 = 90. Então A1 * A4 = A2 * A3 => 60 * A4 = 120 * 90 => A4 = (120 * 90) / 60 = 2 * 90 = 180 cm².
Subcaso 1.3: A1 = 90, A2 = 60, A3 = 120. Então A1 * A4 = A2 * A3 => 90 * A4 = 60 * 120 => A4 = (60 * 120) / 90 = (2/3) * 120 = 80 cm².
Subcaso 1.4: A1 = 120, A2 = 90, A3 = 60. Então A1 * A4 = A2 * A3 => 120 * A4 = 90 * 60 => A4 = (90 * 60) / 120 = 90 / 2 = 45 cm².
Vamos analisar o Subcaso 1.3, onde A1=90, A2=60, A3=120 e A4=80.
Nesse caso:
A1 = x*y = 90
A2 = (L-x)*y = 60
A3 = x*(L-y) = 120
A4 = (L-x)*(L-y) = 80
Da relação A1/A2 = (x*y) / ((L-x)*y) = x / (L-x) = 90/60 = 3/2. Logo, 2x = 3(L-x) => 2x = 3L - 3x => 5x = 3L => x = (3/5)L.
Da relação A1/A3 = (x*y) / (x*(L-y)) = y / (L-y) = 90/120 = 3/4. Logo, 4y = 3(L-y) => 4y = 3L - 3y => 7y = 3L => y = (3/7)L.
Agora, vamos verificar se com esses valores de x e y, A4 = (L-x)*(L-y) = 80.
L-x = L - (3/5)L = (2/5)L
L-y = L - (3/7)L = (4/7)L
A4 = ((2/5)L) * ((4/7)L) = (8/35)L².
Sabemos também que A1 = x*y = (3/5)L * (3/7)L = (9/35)L² = 90.
Resolvendo para L²: L² = 90 * (35/9) = 10 * 35 = 350.
Agora calculamos A4:
A4 = (8/35) * L² = (8/35) * 350 = 8 * 10 = 80 cm².
Esta configuração é consistente. A área do quarto retângulo é 80 cm².
Podemos testar outra atribuição para confirmar. Por exemplo, se A1=60, A2=90, A3=120, A4=180.
A1=x*y=60
A2=(L-x)*y=90 => (L-x)/x = 90/60 = 3/2 => 2(L-x) = 3x => 2L - 2x = 3x => 2L = 5x => x = (2/5)L.
A1=x*y=60
A3=x*(L-y)=120 => (L-y)/y = 120/60 = 2/1 => L-y = 2y => L = 3y => y = (1/3)L.
Agora, A4 = (L-x)*(L-y) = (L - 2/5 L) * (L - 1/3 L) = (3/5 L) * (2/3 L) = (6/15) L² = (2/5) L².
Sabemos que A1 = x*y = (2/5 L) * (1/3 L) = (2/15) L² = 60.
Resolvendo para L²: L² = 60 * (15/2) = 30 * 15 = 450.
Agora calculamos A4:
A4 = (2/5) * L² = (2/5) * 450 = 2 * 90 = 180 cm².
Esta configuração também é consistente e leva a 180 cm².