Questão 23279 — Matemática

Resposta: A

A afirmação I está correta pela definição de matriz simétrica. A afirmação II está correta pela definição de matriz antissimétrica. Para a afirmação III, seja A e B matrizes simétricas. Então A = Aᵀ e B = Bᵀ. A transposta de (A+B) é (A+B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ = A + B. Portanto, A+B é simétrica. A afirmação IV está incorreta. Se A e B são antissimétricas, então A = -Aᵀ e B = -Bᵀ. A transposta de (A+B) é (A+B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ = (-A) + (-B) = -(A+B). Logo, A+B é antissimétrica. No entanto, o contraexemplo mais simples é a matriz nula. A matriz nula é simétrica e antissimétrica. A soma de duas matrizes nulas (que são antissimétricas) é a matriz nula, que é antissimétrica. O erro está na generalização da afirmação IV para casos não triviais, pois se considerarmos A e B como matrizes antissimétricas não nulas, a sua soma pode não ser antissimétrica se A = -B. Nesse caso A+B=0 (matriz nula), que é antissimétrica. O erro fundamental na afirmação IV é a omissão de que a soma de duas matrizes antissimétricas é SEMPRE uma matriz antissimétrica, o que é verdade. O equívoco na formulação da minha explicação anterior reside na interpretação. A soma de duas matrizes antissimétricas é, de fato, sempre antissimétrica. Se A = -Aᵀ e B = -Bᵀ, então (A+B)ᵀ = Aᵀ + Bᵀ = (-A) + (-B) = -(A+B). Portanto, a afirmação IV está correta.