Questão 24056 — Matemática

Resposta: C

Para determinar a natureza das soluções do sistema, podemos calcular o determinante da matriz dos coeficientes. A matriz dos coeficientes é dada por: | 1 2 -1 | | 2 -1 3 | | 3 1 2 | O determinante é calculado como: 1*(-1*2 - 3*1) - 2*(2*2 - 3*3) + (-1)*(2*1 - (-1)*3) = 1*(-2 - 3) - 2*(4 - 9) - 1*(2 + 3) = 1*(-5) - 2*(-5) - 1*(5) = -5 + 10 - 5 = 0. Um determinante igual a zero indica que o sistema pode ser impossível ou indeterminado. No entanto, ao tentarmos resolver o sistema, por exemplo, usando a eliminação de Gauss, observamos que a terceira equação é a soma das duas primeiras. Dessa forma, se multiplicarmos a primeira equação por 2 e subtrairmos a segunda, obtemos uma relação que, ao ser comparada com a terceira equação, indica dependência linear. Vamos verificar se é possível e determinado. Se aplicarmos as operações elementares: L2 <- L2 - 2*L1 e L3 <- L3 - 3*L1: x + 2y - z = 3 0 - 5y + 5z = -5 => y - z = 1 0 - 5y + 5z = -5 => y - z = 1 As duas últimas equações são idênticas. Isso indica que o sistema é indeterminado, possuindo infinitas soluções. A variável z pode assumir qualquer valor real, e x e y serão expressos em função de z. Por exemplo, se z = t, então y = 1 + t e x = 3 + z - 2y = 3 + t - 2(1+t) = 3 + t - 2 - 2t = 1 - t. Portanto, o sistema é indeterminado.