Resposta: B
Para fatorar o polinômio P(x) = x³ - 2x² - 5x + 6, sabendo que suas raízes são inteiras, podemos usar o Teorema das Raízes Racionais. Os possíveis divisores inteiros do termo independente (6) são ±1, ±2, ±3, ±6. Testando esses valores: P(1) = 1³ - 2(1)² - 5(1) + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0. Portanto, x=1 é uma raiz e (x-1) é um fator. P(-1) = (-1)³ - 2(-1)² - 5(-1) + 6 = -1 - 2 + 5 + 6 = 8 ≠ 0. P(2) = 2³ - 2(2)² - 5(2) + 6 = 8 - 8 - 10 + 6 = -4 ≠ 0. P(-2) = (-2)³ - 2(-2)² - 5(-2) + 6 = -8 - 8 + 10 + 6 = 0. Portanto, x=-2 é uma raiz e (x+2) é um fator. P(3) = 3³ - 2(3)² - 5(3) + 6 = 27 - 18 - 15 + 6 = 0. Portanto, x=3 é uma raiz e (x-3) é um fator. Assim, o polinômio pode ser fatorado como (x - 1)(x + 2)(x - 3). No entanto, vamos verificar as alternativas fornecidas e refazer os testes para garantir a correção: Se as raízes são inteiras e P(x) = x³ - 2x² - 5x + 6, devemos procurar os divisores de 6. Testando as raízes das alternativas: Na alternativa B, as raízes seriam 1, 2, 3. P(1) = 1-2-5+6 = 0. P(2) = 8 - 8 - 10 + 6 = -4. P(3) = 27 - 18 - 15 + 6 = 0. A alternativa B está incorreta com as raízes. Vamos testar as alternativas:
Alternativa A: (x - 1)(x + 2)(x - 3) = (x² + x - 2)(x - 3) = x³ - 3x² + x² - 3x - 2x + 6 = x³ - 2x² - 5x + 6. Esta é a fatoração correta.
Reavaliando a questão e a alternativa correta. A explicação anterior incorretamente identificou as raízes. Refazendo a análise: Se a alternativa B é a correta, suas raízes seriam x = 1, x = 2, x = 3. P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0. P(2) = 8 - 8 - 10 + 6 = -4. P(3) = 27 - 18 - 15 + 6 = 0. Houve um erro na verificação inicial das raízes. A alternativa B (x + 1)(x - 2)(x - 3) implicaria em raízes -1, 2, 3. Vamos testar: P(-1) = -1 - 2 + 5 + 6 = 8. P(2) = 8 - 8 - 10 + 6 = -4. P(3) = 27 - 18 - 15 + 6 = 0. A alternativa B também está incorreta.
Vamos testar a alternativa A: (x - 1)(x + 2)(x - 3). Raízes: 1, -2, 3.
P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0.
P(-2) = (-2)³ - 2(-2)² - 5(-2) + 6 = -8 - 2(4) + 10 + 6 = -8 - 8 + 10 + 6 = 0.
P(3) = 3³ - 2(3)² - 5(3) + 6 = 27 - 2(9) - 15 + 6 = 27 - 18 - 15 + 6 = 0.
Portanto, a alternativa A, (x - 1)(x + 2)(x - 3), é a fatoração correta. A questão e as alternativas originais foram reavaliadas, e a alternativa A corresponde ao polinômio dado.